泡沫鋁車架填充前、后動態特性的有限元分析五

諧響應的動載荷

汽車在道路上行駛時它真正受到的激勵最主要的是來于路面的不平，如果地面的波形公式為:
χ₁=h/2（1-cos*2πνt/l）式中:
h--振幅；

l--波長；
v--汽車速度。
由于地面波形頻率為ω_g=πνt/l，從而有:

χ₁=h/2（1-cosω_gt)
當有如下假定條件時:
(1)車身為對稱與鉛垂面的剛體；

(2) 車輪受到的路面激振相同；
(3)車輛等速直線行駛，輪胎與地面始終接觸；
(4)路面位移輸入函數作用在輪胎與路面的接觸點中心上；

(5) 輪胎和路面視為點接觸。
各符號的物理意義為:
m₁--車架下質量(包括輪圈，輪胎，輪軸等)；

m₂--車架上質量；
k₁一輪胎剛度系數；
k₂--懸架剛度系數；
x₁--路面不平度；
x₂--簧下質量的垂直位移；
x₃--簧上質量的垂直位移；
從而可以得到運動方程式:
m_1*d²x₂/dt²+(k₁+k₂)x₂-k₂x₃-k₁x₁=0
m₂d²x₃/dt²+k₂(x₃-x₂)=0
假設車身不動，而x₁=0，那么車輪的自然振動頻率ω₁₂可以由下式得出
m_1*d₂x²/dt²+(k₁+k₂)x₂=0
根據振動原理可得出關于ω₁₂的表達式:
ω₁₂=(k₂+k₁)/m₁
假設車輪不動，則車身的自振頻率可以由下式決定
m₂d²x₃/dt²+k₂x₃=0

ω₂₃²=k₂/m₂

將式子歸并起來得
m_1*d²x₂/dt²-ω²₁₂x₂ +(k₂/k₁₊k₂)ω²₁₂x₃=-（1-cosω_g^t）k₁ω²₁₂h/2（k₁₊k₂）

d²x₃/dt²-ω₂₃²x₃+ω₂₃²x₂=0

設初始條件為x₂(0)=0，{dx₂/dt}(0)=0，x₃(0)=0,{dx₂/dt}(0)=0時，上面兩式的解如下:
x₂=A₂cosω₁t+B₂cosω₂t+C₂+D₂cosω_gt

x₃=A₃cosω₁t+B₃cosω₂t+C₃+D₃cosω_gt

其中，

A₂=-hω₁²/2ω₂²-ω₁²+D₃(ω_g²-ω₂₃²)(ω_g²-ω₁²)/ω₂₃²（ω₂²-ω₁²）

A₃=-hω₁²/2ω₂²-ω₁²+D₃(ω_g²-ω₁²)/（ω₂²-ω₁²）

B₂=-hω₁²/2ω₂²-ω₁²+D₃(ω_g²+ω₂₃²)(ω_g²-ω₁²)/ω₂₃²（ω₂²-ω₁²）

B₃=hω₁²/2ω₂²-ω₁²-D₃(ω_g²-ω₁²)/（ω₂²-ω₁²）

C₂=C₃=h/2

D₂=（ω_g²+ω₂₃²）D/ω₂₃²

D₃=-hK₂ω₁²ω₂²/2(ω_g²+ω₁²)(ω_g²+ω₂²)

求出ω₁和ω₂的頻率后，當ω_g=0時，可變為:
d⁴x₃/dt⁴-（ω₁₂²+ω₂₃²）d²x₃/dt²+ω₁₂²ω₂₃²x₃k₁/（k₁+k₂）=0

d⁴x₂/dt⁴-（ω₁₂²+ω₂₃²）d²x₂/dt²+ω₁₂²ω₂₃²x₂k₁/（k₁+k₂）=0

ω₁²和ω₂²是它們的定性方程式之根:
ω⁴-ω²（ω₁₂²+ω₂₃²）+ω₁₂²ω₂₃²k₁/（k₁+k₂）=0

這個方程式給出ω²的值，即ω₁²和ω₂²。
所以作用在車架的激力為:
F=k₂(x₃-x₂) 

根據所選車型可以確定m₁、m₂、k_1、k₂的大小為:
m₁=80kg；
m₂=1350kg；
k₁=6.8x10⁵N/m；
k₂=3.4x10⁴N1m；
根據實際情況設車的行駛速為30m/s；波長1=3m；幅值h=0.03m。
結合各式，將已知量代入，最終可得車架激振力F。
計算結果為：F=-22670sintN